Ipotesi di Riemann, una sfida al pensiero che ancora resta in piedi

Un recente articolo ha suscitato un’ondata di notizie improvvide: sarebbe stata dimostrata la Ipotesi (o Congettura) di Riemann, uno dei sette problemi su ognuno dei quali il Clay Institute ha posto una taglia di un milione di dollari. In realtà gli autori della ricerca, Giuseppe Mussardo e André LeClair, non si sognano di millantare una soluzione. Leggo: “Possiamo concludere che mentre una violazione dell’Ipotesi di Riemann è, strettamente parlando, non impossibile, essa è comunque estremamente improbabile”. Mussardo e LeClair appartengono a istituzioni di assoluta fiducia: la SISSA, nostra eccellenza internazionale, l’INFN, la Cornell University. Sono dei fisici e come tali parlano: mettono subito in chiaro che il loro impianto è diverso da quello del matematico e danno ampie giustificazioni storiche ed epistemologiche di tale impostazione. Leggo ancora: “Se questo lavoro avesse l’effetto di stimolare ulteriori studi rigorosi da parte di genuini matematici sull’argomento, avrebbe già raggiunto lo scopo di attirare l’attenzione su una possibile via” di dimostrazione.

Ma cosa dice questa congettura? Parla di una certa “funzione zeta” studiata già nel 1644 da Pietro Mengoli e poi da Eulero. La funzione zeta è definita sui numeri complessi, rappresentabili come punti del piano. I punti conosciuti in cui la funzione vale zero stanno su due certe rette. Bernhard Riemann ne trovò alcuni e congetturò che tutti stessero su quelle due rette, pur senza riuscire a dimostrarlo. Alan Turing scrisse il primo programma per trovarne altri; oggi ne conosciamo migliaia di miliardi e stanno tutti lì.

Penso agli amanti dei Big Data di cui ho parlato recentemente; credo che loro sarebbero contenti così. L’approccio di Mussardo e LeClair è molto più fine: studiano il problema con sofisticati strumenti probabilistici; quando dicono “improbabile”, questo ha un significato tecnico preciso.

Sento un pensiero correre fra molti lettori: che ce ne può fregare di dove stanno quei punti? Non ribadirò mai abbastanza che la nostra civiltà, nel bene e nel male, è basata sull’espansione della conoscenza in tutte le direzioni, senza riguardo per alcun tabù, compreso il tabù utilitaristico. Ogni tanto, anzi spesso, l’utilizzo poi arriva. Ricordiamoci, per esempio, che senza un risultato di teoria dei numeri scoperto nel terzo secolo oggi non sapremmo come fare acquisti sicuri online.

Guarda caso, l’Ipotesi di Riemann ha un forte collegamento proprio con la teoria dei numeri. Ma lasciatemi essere quasi poetico: io credo che noi umani siamo limitati nel tempo e nello spazio; eppure ci possiamo permettere uno sguardo verso l’infinito attraverso la matematica. Euclide quando scopre l’infinità dell’insieme dei numeri primi, Cantor quando scopre l’esistenza di infiniti diversi ci permettono di infrangere il nostro guscio così limitato, mediante quella cosa straordinaria che è il pensiero. Bene: l’Ipotesi di Riemann è una sfida al pensiero. Tutto fa pensare (oggi più che mai, grazie a Mussardo e LeClair) che quei punti stiano su quelle due rette, ma il nostro pensiero non è ancora cresciuto abbastanza da dimostrarlo.

Il mio scetticismo sui Big Data in matematica viene da lontano. Nel 1974 tre importanti matematici scrissero, su una delle più importanti riviste sovietiche, una certa congettura topologica. Delle 97 pagine di quell’enorme articolo, tre erano dedicate a un ragionamento matematico; le altre 94 spiegavano come era stato scritto un programma per produrre esempi, e come questi fossero di carattere generale. Un milione di esempi anche piuttosto complicati confermava le loro speranze. Peccato che tre anni dopo Oleg Viro e Viktor Kobelski abbiano pubblicato un articolo, consistente in una paginetta e un disegnino, che dimostrava falsa la congettura. Ecco cosa riesce a fare il pensiero!

Una curiosità: l’American Mathematical Society selezionava fra gli articoli sovietici quelli da tradurre; pubblicò in inglese le 97 pagine della congettura, ma ignorò la paginetta che la distruggeva. Così molti continuarono a lavorarci e nel 1979 uscì, in Giappone, un altro controesempio più complicato.

Un eventuale controesempio alla Ipotesi di Riemann non si risolverebbe certo in una paginetta; quindi ben vengano le speculazioni come quella di Mussardo e LeClair. Magari la stampa dovrebbe convincersi che la scienza procede con qualche grande balzo e con moltissimi piccoli passi, e che anche a questi va attribuita importanza e dignità, senza bisogno di gonfiarli inopportunamente.