In matematica si può dire ‘esiste’

Che ce ne frega di sapere che una cosa esiste, se non la sappiamo trovare? No, non è un problema filosofico o teologico, parlo di matematica: ci sono teoremi di esistenza non costruttivi, cioè che garantiscono l’esistenza di un certo ente senza fornire una formula o un algoritmo per trovarlo. Sembra di parlare del sesso degli angeli. Invece no.

Il caso più rilevante è quello delle soluzioni di equazioni differenziali (v. Appendice). I ricercatori di Analisi matematica sono bravissimi a isolarne classi particolari per cui si possono effettivamente trovare soluzioni, ma più spesso, se si è fortunati, si riesce solo a dimostrare l’esistenza di una soluzione e a derivarne le caratteristiche principali. A volte allo scienziato basta uno studio qualitativo delle soluzioni, ma di solito si vuole la soluzione vera a propria o almeno una sua approssimazione. La cosa passa allora nelle mani degli esperti di Analisi numerica, che sviluppano formidabili metodi di approssimazione. Sì, ma lo studio teorico precedente è essenziale: non si può approssimare una cosa che non esiste! Si rischia altrimenti di ottenere comunque un risultato, che però è privo di significato.

Guardando alla più familiare Algebra, nel mio post precedente ho parlato della impossibilità di una formula generale per risolvere equazioni algebriche di grado superiore al quarto, come quella in alto nella figura. È inquietante il confronto con il Teorema Fondamentale dell’Algebra, il quale afferma che una tale equazione, nel campo dei numeri complessi, ha sempre soluzioni. Siamo dunque di nuovo nell’ambito della pura esistenza, visto che non ci sarà mai una formula che mi fornisca le fantomatiche soluzioni. Esse esistono, ma non potrò mai trovarle! Certo se ne possono trovare approssimazioni, ma già sapere la sola esistenza delle soluzioni mi permette di scoprire molte verità su di loro. Per esempio, sapendo che esistono, possa dare loro dei nomi: a, b, c, d, e; allora posso riscrivere il primo membro come (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e) come ci ha insegnato il nostro Paolo Ruffini. Una volta eseguita la moltiplicazione, il confronto fra le due scritture mi rivela subito che il prodotto abcde è esattamente uguale a 2, che la somma  a+b+c+d+e  dà 4 e altre relazioni del genere (formule di Viète). Senza far alcun conto, semplicemente guardando l’equazione e sapendo che le soluzioni esistono, posso dire anche che non ci sono soluzioni reali negative, che ce ne sono o due o quattro complesse e ce ne sono o una o tre reali positive. Eccetera…

Da vecchio topologo, sono affezionato a un altro teorema di pura esistenza, quello di “punto fisso” di Luitzen Brouwer: ogni funzione continua f da un cerchio pieno a se stesso ammette un punto fisso P, cioè tale che f(P)=P. Quello che mi affascina è che esso si può dedurre da un teorema di non esistenza! Una tale deduzione avrebbe probabilmente fatto inorridire Brouwer stesso, padre della corrente intuizionista: essa rifiuta dimostrazioni, come questa, che facciano uso della logica del terzo escluso, o che ricorrano a procedimenti infiniti.

Appendice

Quasi tutte le leggi della Fisica (e molte della Chimica, della Biologia, dell’Economia…) si esprimono con equazioni differenziali, in cui un’eventuale soluzione non è un numero ma una funzione. Un esempio semplice è quello di un oscillatore armonico: pensate a un vagone di un trenino attaccato con una molla a un palo vicino alla rotaia (in basso nella figura). Se tiro il vagone e lo lascio andare, sono interessato a conoscere la legge oraria del suo moto, cioè la funzione x=f(t) che ci dice in ogni istante t la posizione x del vagone. Trascuriamo gli attriti; la molla esercita una forza (e imprime un’accelerazione) proporzionale alla sua estensione e diretta nel verso opposto. Siccome l’accelerazione in funzione del tempo è la derivata seconda f”(t) della misteriosa funzione f(t), abbiamo l’equazione differenziale f”(t) = -kf(t), con k costante positiva che dipende dalle caratteristiche fisiche della molla e del vagone. Per fortuna le soluzioni di questa equazione (e di quella, poco più complicata, che tiene conto degli attriti) si trovano in modo completo. Purtroppo non è così per la maggior parte delle equazioni differenziali.