Considerato dagli addetti ai lavori uno dei maggiori talenti del calcio asiatico, arriva giovanissimo in Europa. Nel 2008, a soli 16 anni, lascia la Corea per entrare nel settore giovanile dell'Amburgo, con cui esordisce in Bundesliga dopo avere firmato a 18 anni il suo primo contratto da professionista. Il 30 ottobre 2010 segna il suo primo gol nella gara di campionato contro il Colonia, diventando il più giovane marcatore nella storia dell'Amburgo. Nell'estate del 2013 stabilisce un nuovo primato: il suo trasferimento per 10 milioni di euro al Bayer Leverkusen è il più caro nella storia delle 'aspirine'. Il 9 novembre 2013 realizza la sua prima tripletta proprio contro la sua ex squadra nella vittoria per 5-3 contro l'Amburgo. Ha esordito in Nazionale il 7 ottobre 2011 in un'amichevole contro la Polonia.

Controverso, almeno agli inizi, il rapporto del giocatore con la Nazionale. Nel 2011 il padre di Heung-Min, ex calciatore e allenatore, ha chiesto alla Federcalcio coreana di non convocare il figlio per permettergli di completare con calma il suo processo di maturazione; nel 2012 è stato lo stesso Heung-Min a rifiutare la convocazione per le Olimpiadi di Londra, preferendo concentrarsi sulla sua carriera a livello di club.