In matematica si può dire “non esiste”

Problemino estivo. Si possono unire due case A, B a tre negozi 1, 2, 3 con strade che non si incrocino in mezzo? Risposta: sì, e per dimostrarlo basta tracciare una soluzione come quella della Figura 1. Veniamo al problema vero: è possibile farlo con tre case A, B, C? Provo partendo dalla soluzione precedente (Fig. 2); non ci riesco. Provo a partire in un altro modo (Fig. 3); non ci riesco lo stesso. Per quanto provi, salta sempre fuori un incrocio non voluto. Basta questo per dire che sia impossibile risolvere il problema? No, non basta: potrebbe esserci una soluzione stravagante che non mi è venuta in mente.

 

In effetti non esistono soluzioni, ma per dimostrarlo (v. Appendice) abbiamo bisogno di un procedimento logico, un teorema di non esistenza. Questi teoremi piacciono poco agli ingegneri, eppure sono utilissimi, perché ci invitano a non perdere tempo a cercare cose impossibili. C’è un teorema di non esistenza che conclude una storia appassionante (si legga per esempio L’equazione impossibile di Mario Livio). Prendete un’equazione algebrica di primo grado, a coefficienti reali: ax+b=0. C’è un’unica soluzione, -b/a. Questo è noto da millenni; i Babilonesi – pare – conoscevano anche la formula per le equazioni di secondo grado, tramandataci dagli algebristi arabi medievali, che abbiamo imparato alle superiori.

Il terzo grado invece fu un osso duro per gli algebristi italiani; fra Scipione Dal Ferro, Niccolò “Tartaglia” e Girolamo Cardano finalmente ci si arrivò nel sedicesimo secolo; quasi subito Ludovico Ferrari, allievo di Cardano, estese il metodo al quarto grado. Ma per le equazioni algebriche di quinto grado e oltre non si trovava una formula generale “in forma chiusa”, cioè che fornisse le soluzioni mediante estrazioni di radici, somme, sottrazioni, divisioni e prodotti dei coefficienti. In modo indipendente e con diversa precisione tre matematici eccezionali arrivarono ad una conclusione sconvolgente: una tale formula generale non può esistere. Prima Paolo Ruffini, poi Niels Abel, infine lo scapestrato, giovanissimo Évariste Galois mettono la parola fine al problema.

È Galois che nel 1832 costruisce una teoria generale (dei gruppi di simmetria) all’interno della quale si riconoscono tutte e sole le classi di equazioni algebriche che ammettono formule risolutive in forma chiusa. Vi raccomando di leggere la storia tragica di questo genio. Vorrei soffermarmi sull’aspetto culturale di questo risultato: esso ci dice che né domani né fra tremila anni si potrà trovare una tale formula; così come non si potrà trovare una soluzione al problema delle tre case e tre negozi. Sinceramente penso che ogni cittadino di media cultura dovrebbe essere esposto a una scoperta così miracolosa e conturbante, tanto quanto alla Divina Commedia. Ma così non è.

Questa non esistenza non ha conseguenze pratiche gravi: a ingegneri e fisici bastano metodi di approssimazione delle soluzioni, noti già dai tempi di Newton e oggetto di miglioramenti continui. Ma per approssimare qualcosa occorre che la cosa esista. Esiste sempre una soluzione di una equazione algebrica? Se i coefficienti sono numeri complessi (o reali, come caso particolare) una soluzione complessa c’è sempre: lo garantisce il Teorema fondamentale dell’Algebra che però, necessariamente, è un teorema di pura esistenza, non costruttivo. Ma questa è un’altra storia.

Appendice. Supponiamo che su una superficie X si possa risolvere il problema delle tre case e tre negozi. Allora (1) il numero V di “vertici”, cioè case e negozi, è 6; il numero S di strade è 9. M’interessa il numero F di “facce”, cioè dei pezzi di superficie compresi fra le strade (contando, se siamo nel piano, anche la faccia illimitata esterna), perché una formula di Eulero dice che, se X è il piano, vale V-S+F=2. Ogni faccia dev’essere circondata da almeno quattro strade: un numero pari perché si passa da casa a negozio ecc. e poi si chiude con la casa iniziale; >2 perché fra una casa e un negozio c’è una strada sola. Ora (2) se sommo i numeri di strade attorno a ogni faccia avrò contato ogni strada due volte, perciò 4F è minore o uguale (≤) a 2S. Dal punto (2) ottengo F ≤S/2; perciò V-S+F ≤ V-S+S/2 = V-S/2; da questo e dal punto (1) ho V-S+F ≤ V-S/2 = 6-9/2 = 3/2<2. Ma allora, per la formula di Eulero, la superficie X non può essere il piano! Quindi nel piano non esiste soluzione.

(Può esistere invece se X è un toro, cioè la superficie di una ciambella; lì vale che V-S+F=0; trovate voi stessi una soluzione sul toro!)